Групавыя гульні
Напэўна, усё было ў яго/яе рукі галаваломку называецца "кубік Рубіка" або "Чароўны куб". Ён зроблены пластыкавых куба, грані якога можа рухацца такім чынам, што маленькія каляровыя кубы, якія складаюць кожную грань можна перастаўляць. Мэта гульні складаецца ў тым, каб аднавіць арыгінальны куб.
Можна даказаць, што колькасць розных канфігурацый куб Рубіка з'яўляецца:
Мэта гэтых анімацыі з'яўляецца азнаямленне чытача адкрыць для сябе стратэгію, каб трымацца, каб вырашыць куб галаваломка Рубіка, не даючы Аднак поўнае рашэнне... Наадварот, некаторыя новыя загадкі будуць уведзены, аналагічна, але прасцей, чым кубік Рубіка, які дазволіць выявіць магчымыя стратэгіі рашэння. Мы будзем разглядаць абагульненую задачу, і мы павінны скарыстацца магчымасцю, каб прадставіць некаторыя матэматычныя паняцці, якія з'яўляюцца часткай так званай тэорыі груп... Для таго каб вырашыць загадкі тут не прадставіў матэматычныя веды неабходныя, хоць, можа быць, што людзі, якія ведаюць асновы тэорыі група можа ацаніць экспазіцыю вядомых паняццяў у крыху па-іншаму.
У першай загадкі, мы будзем гуляць з паслядоўнасць лікаў, як гэты:
і з некаторымі правіламі, якія будуць усталёўваць як абмен нумарамі.
Частка: першыя крокі
Праблема № 1: Пачынаючы з любой канфігурацыі з пяці нумароў, гэта заўсёды можна змяніць пяць элементаў, такім чынам, што вочка з нумарам 1 у першай пазіцыі, вочка з нумарам 2, на другім месцы і гэтак далей ?
Ясна ж праблемы могуць быць разгледжаны на розны лік клетак, напрыклад 7, як ў:
Гульня 2: Тыя ж правілы, што і вышэй, але яшчэ дзве кнопкі, якія абменьваюцца клеткі ў становішчы 5 і 6 і клетак ў пазіцыі 6 і 7.
Адказ на задачу 1 Такім чынам, пазітыўныя: для таго, каб перастаўляць усімі магчымымі спосабамі нумары 1,2,3,4,5 (або 1,2,3,4,5,6,7 або, у агульным, 1, 2,..., п) досыць для абмену ўсіх паслядоўных вочак.
Гэта зацвярджэнне вядомай тэарэмы матэматыкі (дакладней, гэта тэарэма ў тэорыі груп), якія, як правіла, фармулюецца наступным чынам:
Тэарэмы. Симметрической групы S п, спароджаным 2-цыклаў.
(Мноства ўсіх перастановак лікаў 1,2,..., п называецца "симметрической групы S N" і абмен двух вочак называецца "2-цыкла", іншы спосаб выказаць папярэдняй тэарэмы з'яўляецца наступнае: любая перастаноўка 1,2,..., п твор 2-цыклаў).
Пойдзем да наступнай гульні:
Гульня 3: Таксама тут кнопку "беспарадак" абмен клеткі усімі магчымымі спосабамі; Ёсць цяпер дзве іншыя кнопкі: адна абмен першых двух клетак, іншы робіць зрух, які ставіць першую вочка ў становішча другога, другі ў становішча трэці і гэтак далей; Апошні ідзе на першым месцы. Нарэшце, ёсць яшчэ адна кнопка, якая робіць адваротнае папярэдняй змены: няма неабходнасці, так як гэта робіць той жа эфект, што паўтараць 4 разы папярэднюю кнопку, але яна карысная.
Праблема № 2: Пачынаючы з любой канфігурацыяй клеткі, гэта заўсёды можна змяніць іх? А пры больш (або менш), чым 5 клетак?
Такім чынам, і тут адказ станоўчы, а таксама тут вынік вядомай тэарэмы тэорыі груп:
Тэарэмы. Симметрической групы S N спараджаецца 2-цыкла і N-цыклу.
Нарэшце, разгледзім яшчэ адзін від перастановак:
Гульня 4: дазволена перастановак у цяперашні час: 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 1 і 1 <-> 2 і адначасова 4 <-> 5. Гульня пачынаецца з канфігурацыі: [3,5,4,2,1] (мы раім не выкарыстоўваць
Кнопка "беспарадак" на дадзены момант).
Праблема № 3: Пачынаючы з канфігурацыяй [3,5,4,2,1] ці можна пакласці клетак у становішча [1,2,3,4,5]?
Гульня 5: Тое ж, што папярэдняя гульня, але зараз мы пачынаем з канфігурацыяй [3,5,2,4,1].
Праблема 4: Тое ж, што праблема 3.
Першы з двух папярэднім гульняў можа быць вырашана даволі хутка. Другі Аднак, нягледзячы на ??шэраг папярэдніх можна было б зрабіць, як уяўляецца, не адрозная. Гэта сапраўды так. Тут вы можаце знайсці тлумачэнне:
Да гэтага часу мы бачылі некалькі груп: симметрических груп S N і знаказменных групы N (гэтыя апошнія групы, уведзеныя ў папярэднім вырашэнні).
Калі вы хочаце далей гуляць з імі і з некаторымі іншымі групамі націсніце тут.
Частка B: у кубік Рубіка
Разгледзім зараз іншую катэгорыю гульняў. Не забывайце, што наша канчатковая мэта заключаецца ў кіраванні кубік Рубіка.
Гульні 6: T ён праблема, таксама тут, для змены канфігурацыі лікаў устаўленыя ў вочка. Дапускаецца перастановак па сутнасці два, якія адпавядаюць Першыя дзве кнопкі тут пазначаецца F і G.
Можа быць, трэба даць некалькі тлумачэнняў на некалькі кнопак тут вызначаны:
- Кнопка F круціцца першыя 4 клеткі на 90 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы,
- кнопку "круціцца другое квадратных вочак 90 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы.
- F -1 азначае адваротнае кручэнне F,
- г -1 дае зваротны паварот г.
- У белым акне Вы можаце напісаць паслядоўнасці хадоў, як, напрыклад: FGF ^ ^ 2 ^ -1 (якія відавочна азначае: па-першае кручэння F то кручэнне г, затым двойчы кручэння F і, нарэшце, кручэнне г -1. Звярніце ўвагу сінтаксіс: напрыклад F -1 павінен абазначаць праз/^ -1).
- Каб убачыць эфект ад паслядоўнасці хадоў вызначаны ў акне, выкарыстоўваючы кнопку "паспрабаваць".
- Калі вы любіце пісьмовага паслядоўнасць хадоў, выкарыстоўвайце кнопку "Дадаць", які дадае новую кнопку (якія могуць быць выдаленыя з "Del").
- Кнопку "Захаваць функцыі" дае імя (напрыклад, H, I,...) паслядоўнасці хадоў запісаць у акно. Імя, аўтаматычна прысвойваецца, з'яўляецца ў правым акне. Ён можа быць выкарыстаны ў будучыні самавыяўлення, а таксама F, G,... Такім чынам, калі, напрыклад, у вас ёсць пэўны гадзіну: = FGF 2 г -1, цяпер можна пісаць у белае акно іншыя выразы, як FH ^ 2GH ^ -1. Будзьце асцярожныя з сінтаксісам: напрыклад FG азначае: "выкарыстоўваць першым F, а затым г". Прабелы не дапускаюцца.
- Кнопка "Скід" ставіць 6 вочак ў зыходнае становішча (вельмі карысна, калі вы хочаце пачаць новую гульню).
Праблема 5: Змяшайце да шасці вочак з F і G кнопкі, а затым паспрабаваць аднавіць зыходную паслядоўнасць лікаў (правільнае становішча кожнай клетцы напісана ў фонавым рэжыме). Ці можаце вы знайсці агульную стратэгію? Тут ёсць намёк:
Рашэнне...click here to see most Popular Pages
Праблема 6: Знайсці паслядоўнасці крокаў, якія, пачынаючы з пачатковай канфігурацыі, пакласці 6 вочак зноў у пачатковай канфігурацыі (напрыклад: F 3f ^ або F ^ ^ 2g 2g ^ 2f ^ 2 або F ^ 2g ^ 2f ^ ^ 2g 2f ^ 2g ^ 2 ці...)
Праблема 7: Перш за ўсё, выкарыстоўваць кнопку "перазагрузкі", а затым вызначыць (з "дадаць") новая кнопка, якая ўтрымлівае паслядоўнасць рухаў (кажуць, напрыклад, Ф. Г. ^ ^-1F 3G ^ 2) і, пачынаючы з пачатковая канфігурацыя з шасці нумароў націсніце некалькі разоў новая кнопка. Ці дакладна, што пасля канчатковага чысла паўтораў гэтай кнопкі шэсць нумароў займаюць зноў зыходнае становішча? Хай Н адной з гэтых паслядоўнасцяў рухаў то па ч -1 (або H ^ -1) пазначым зваротную паслядоўнасць хадоў (і, такім чынам, калі вы спачатку звярнуцца ч, а затым ч -1 нічога не адбываецца). Хай H задаецца як паслядоўнасць FG або FGF ^-1gf ^ 2, як вы кажаце ч -1 праз F і G?
Нарэшце, давайце казаць пра кубік Рубіка. Для пачатку, давайце спросцім задачу як мага больш: выкажам здагадку, у нас ёсць куба, у якой толькі дзве сумежныя мяжы можа круціцца. Акрамя таго, мы павінны засяродзіцца толькі на 6 малых кубоў, якія ўтвараюць вяршыні два асобы. Што вы атрымліваеце ад куба Рубіка з гэтымі абмежаваннямі падобна на тое, што вы атрымаеце ў наступным:
Гульня 7: У гэтай гульні кнопкі маюць той жа сэнс з кнопкі папярэдняй гульні. У пачатку ў нас ёсць 6 маленькіх кубікаў пакласці такім чынам, што злева (у адносінах да назіральніка) усе яны маюць аранжавы твар, на правым белым тварам і вышэй жоўты твар (тры невялікія квадраты афарбаваныя ў аранжавы, белыя і жоўтыя застаюцца фіксаванымі і карысна нагадаць правільнае становішча асобы). Кожны кубік мае прычым тры схаваныя асобы, іх колеру: чырвоны (насупраць аранжавы), сіні (у супрацьлегласць белым асобай) і зялёны (насупраць жоўты). Націсніце выпадкова на кнопкі, каб рухацца дробнымі кубікамі, а затым паспрабаваць паставіць іх зноў у правільным становішчы...
Цалкам верагодна, што пасля некаторых крокаў, якія вы атрымаеце канфігурацыі з якога не так проста вярнуцца... Аднак... Давайце паглядзім... Перш за ўсё, як гэта гульня 7, звязаныя з гульнёй 6? Тлумачэнне заключаецца ў тым:
Гульня 8: кнопкі маюць той жа сэнс тых, хто ў папярэдніх гульнях.
Як вы можаце бачыць цяпер, гульня 6 з'яўляецца спрашчэнне гульня 7: гульні 6 імітуе кручэнне 6 вяршыняў з двух сумежных граняў куба Рубіка.
Націсніце выпадкова на некалькі кнопак для таго, каб змешваць дробнымі кубікамі, а затым паспрабаваць змяніць іх. Пакуль вы спрабуеце змяніць дробнымі кубікамі, аднак, забываць пра правай частцы анімацыі і разглядаць толькі левую частку, (гэта значыць, разглядаць толькі гульню 6). Такім чынам, вы можаце паставіць шэсць невялікіх кубоў ў правільным становішчы, але тое, што вы адразу ж выявіце, што: гэта не дастаткова, каб вырашыць левай часткі гульні вырашыць ўсю гульню: хоць шэсць невялікіх кубоў займаюць правільнае становішча, яны не абавязкова маюць правільную арыентацыю. Для таго, каб вырашыць гульні 6, такім чынам, не дастаткова для таго, каб вырашыць гульню 7. Тым не менш, мы зрабілі некаторыя крокі, каб усе рашэнні гульня 7.
Тое, што застаецца, гэта праблемы з арыентацыяй. Але ў нас ёсць яшчэ адна гульня:
Гульні 9: Тыя ж правілы, што і вышэй, але ў нас ёсць трэці анімацыі...
Гэта апошняя гульня паказвае, што па-ранейшаму адсутнічае ў вырашэнні шэсць невялікіх гульні кубоў. Права карціна "актыўных" менавіта тады, калі шэсць невялікіх кубоў заняць правільную пазіцыю, то ёсць менавіта тады, калі левая частка гульні вырашаная, і, калі ён актыўны, азначае арыентацыю дробнымі кубікамі. Кожны трохвугольнік можна лічыць адным з наступных трох пазіцый:
Першае азначае, што адпаведныя куб у правільнай арыентацыі, другі азначае, што яна круціцца на 120 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы, і трэцяя азначае, што яна круціцца на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы. Некаторыя практыкі куб рэальнага Рубіка (або з гульнёй 7) паказвае, што на самой справе кожная вяршыня (малы куб) можа заняць правільнае становішча толькі ў трох розных арыентацый, якія адпавядаюць магчымасцям і вышэй, якія могуць быць абагульнены:
- правільнай арыентацыі;
- становішча "паварочваецца на 120 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы па адной дыяганалі куба малых";
- становішча "паварочваецца на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы па адносінах да папярэдняга дыяганальныя";
Праблема 8: Знайсці некаторыя розных арыентацыях 6 трыкутнікаў гульні 9. Іншымі словамі, змешваць гульню, націснуўшы на кнопку F і G, а затым, як і ў гульні 6, выправіць толькі шэсць лічбаў левай часткі гульні. У гэтай фазе гульні, вы, верагодна, зручныя для кнопкі "Дадаць" і "Захаваць вынік".
З гэтага моманту мы будзем называць H мноства ўсіх магчымых хадоў, якія вырашаюць праблемы 8 перамяшчаюцца. Сярод усіх элементаў H, мы засяродзімся нашу ўвагу на наступнае:
FG 2 F -1 г -1 FG -1 -1 F G 2
(Г.зн. з выкарыстаннем абазначэння неабходна ў белае акно: FG ^ 2f ^ ^-1G-1fg ^ ^-1F-1G ^ 2).
Як вы можаце адразу ж праверыць, гэтая паслядоўнасць хадоў круціцца кубоў 2,3 і 6 (гэта значыць верхні цэнтральны куб і двух правых кубоў) на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы. Пазначым праз гадзіну гэтая паслядоўнасць хадоў.
Праблема 9: Знайсці элемент з Н, якая круціцца кубоў 2,3 і 5 на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы. (Сярод некалькіх рашэнняў, ёсць адзін асабліва лёгка...)
Праблема 10: Пошук па сайце:
а) элемент з Н, якая круціцца кубоў 2,3 і 6 на 120 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы;Рашэнне...
б) элемент з Н, якая круціцца кубоў 1, 4 і 5 на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы;
в) элемент з Н, якая круціцца кубоў 2, 4 і 5 на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы;
Праблема 11: Што вы атрымаеце, калі ў гадзіну вызначана вышэй вы абменьваецеся F з F -1 і г з г -1 (якія, такім чынам, дае I: = F -1 г 2 FGF -1 GFG 2)?
Рашэнне надаваць папярэднія праблемы дазволіць, у прыватнасці, пабудаваць новыя элементы ў H. Калі ідэя варта вырашыць праблему 9 і пункт з) праблемы 10 ясна, то наступным уласцівасцю H таксама павінна быць ясна:
Уласнасць H: калі да любой элемент з H і V, калі любы крок, то ВКВ -1 зноў элемент Х.
Рашэнне папярэдніх задач мы, у прыватнасці, пабудаваны два элемента з H, якія могуць быць карысныя: элемент H (задаецца FG ^ 2f ^ ^-1G-1fg ^ ^-1F-1G ^ 2) і элемент я (гэта значыць F ^ ^-1G 2fgf ^-1gfg ^ 2). Паспрабуйце цяпер зрабіць рух прывітанне (гэта значыць FG ^ 2f ^ ^-1G-1fg ^ ^-1F-1G ^ ^ 2f-1G ^ ^ 2fgf-1gfg ^ 2, (попробуйте!)). Гэта выразна элемент Х. Яго дзеянне (лёгка прадказаць, як толькі наступствы ч, і я, як вядома) з'яўляецца кручэнне куба 2 на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы, і 5 куб на 120 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы.
Праблема 12: Знайсці паслядоўнасць хадоў, каб:
а) павярнуць (толькі) 1 куб на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы, і Cube 2 на 120 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы;Рашэнне...
б) круцяцца (толькі) 1 куб на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы і 6 куб на 120 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы;
с) круціць (толькі) 1 куб на 120 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы і 6 куб на 270 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы.
На дадзены момант у нас дастаткова інструментаў можа даць поўнае рашэнне галаваломкі прапанаваны гульня 7. Стратэгіі прытрымлівацца заключаецца ў наступным: перш за ўсё пакласці 6 малых кубоў ў правільным становішчы, без уліку іх арыентацыі. Паслядоўна, выкарыстоўваючы, напрыклад, перамясціць прывітанне і меркаванні, аналагічныя тым, якія выкарыстоўваюцца для вырашэння кропкі) б) і ў) задачы 12, спрабуюць павярнуць пару кубікаў, потым яшчэ пару і гэтак далей, пакуль гульня не вырашана.
Да гэтага часу мы далі тэхніку для рашэння вельмі канкрэтных поўдзень праблема агульная задача кубік Рубіка. Уведзены паняцці, аднак, амаль дастаткова, каб выправіць куб цэлым Рубіка. Па двух прычынах: па-першае, стратэгія вынікаць, каб вырашыць усе галаваломкі не адрозніваецца ад стратэгіі тут уведзены прычым рухаецца тут уведзены ўжо добры інструмент. Проста дадайце да іх ход:
Калі вы зацікаўлены ў некаторыя тэарэтычныя аспекты гульні 9, націсніце тут.
Калі вы выкарыстоўваеце гэтыя нататкі дзе-то, вы
Просім прывесці шрыфта.
па электроннай пошце: logar@univ.trieste.it